Мнемоника шести функций сложного процента

Небольшое мнемоническое правило для запоминания функций сложного процента. Первые две функции сложного процента запомнить весьма просто. Будущая и текущая стоимости состоят из стандартной константы (1+i) в степени количества периодов с разницей лишь в прямой и обратной зависимости. Сложности же возникают, в основном, с функциями, начиная с третьей и по шестую (аннуитеты и их стоимости). Для облегчения их запоминания следует указать на несколько перманентных особенностей этих функций:

1) все они представлены в виде отношений (дробей);

2) внутри константы (1+i) знак никогда не меняется,

3) у всех этих функций либо числитель, либо знаменатель равен i.

Всё, что необходимо для запоминания этих четырёх функций – это запомнить выражение:

(1+i)^(n) – 1

Накопление единицы за период (будущая стоимость аннуитета). Необходимо представить себе график, в котором слева расположены несколько платежей (PMT), а справа – накопленная сумма (FV), имеющая значительно больший размер, нежели размер платежа. Мнемоника: если ищем большое (FV) – то и дробь большая (визуально), т.е. в числителе написано значительно больше, чем в знаменателе, а результат вычислений больше единицы. Получаем (в формате MS Excel):

= ((1+i)^(n)-1)/i

Если же ищем маленькое (визуально значительно меньший на графике платеж PMT), то и дробь «маленькая» - сверху мало, снизу много (визуально), а результат вычислений меньше единицы. Итоговой формулой является дробь, обратная предыдущей функции, т.е. "переворачиваем" формулу, меняя местами числитель и знаменатель, и получаем функцию фактора фонда возмещения (норма возврата капитала по Инвуду/Хоскольду в методе капитализации):

= i/((1+i)^(n)-1)

Для запоминания следующих двух функций надо представить себе график, в котором уже слева расположена текущая стоимость аннуитета (величина кредита) PV, а справа - несколько платежей (PMT). Здесь текущая стоимость, расположенная слева, визуально имеет больший размер, нежели платежи, расположенные справа. При равенстве количества периодов, процентной ставки и величин аннуитетных платежей предыдущий график просто перевёрнут зеркально справа налево, и также, как при переносе частей уравнения относительно знака равенства меняется их знак, то и в выражении (1+i)^(n)–1 меняем ВСЕ знаки на противоположные (помня, что (1+i) является константой). Получаем: -(1+i)^(-n)+1. Переместив единицу влево для удобства чтения, получаем 1-(1+i)^(-n). Далее как для предыдущих функций: если ищем визуально большое значение, а им на графике является PV (по отношению к PMT), то и дробь визуально большая (в числителе формула, в знаменателе только "i", а результат больше единицы). Получаем функцию текущей стоимости аннуитета (величины кредита):

=(1-(1+i)^(-n))/i.

Соответственно, взнос на амортизацию единицы (платеж по кредиту) – величина обратная:

=i/(1-(1+i)^(-n))

Всё вышеприведённое – для расчетов на конец периода. Для определения факторов стоимости на начало периода следует «большие» дроби ещё больше «увеличить», домножив всю дробь на (1+i), а «маленькие» дроби, наоборот, уменьшить, разделив всю дробь на (1+i). Примечание: показатели степеней (n) и (-n) приведены в скобках лишь для удобства визуального восприятия.