7.2. Функции сложного процента и дисконтирование

Общая формула дисконтирования на конец периода:

$PV={\frac {1}{FV}}{(1+i)^{t}}=FV\times \left[{\frac {1}{(1+t)^{t}}}\right]$$PV={\frac {1}{FV}}{(1+i)^{t}}=FV\times \left[{\frac {1}{(1+t)^{t}}}\right]$

где:

$FV$$FV$ – будущая стоимость, ден. ед.;

$PV$$PV$ – текущая стоимость, ден. ед.;

$i$$i$ – ставка дисконтирования, доли ед./период времени;

$t$$t$ – интервал времени с даты оценки до даты возникновения FV, периодов времени.

Дробь в квадратных скобках – дисконтный множитель (коэффициент дисконтирования) – показывает соотношение текущей и будущей стоимостей денежного потока; коэффициент, умножение на который величины денежного потока будущего периода дает его текущую стоимость.

Задача 1. Какова текущая стоимость 1 000 000 руб., которые будут получены через 5 лет при средней величине годовой инфляции 10%? Решение:

$PV={\frac {1}{1000000}}{(1+0,5)^{5}}=620921$$PV={\frac {1}{1000000}}{(1+0,5)^{5}}=620921$

При условно равномерном распределении денежных потоков в течение срока (0; t) дисконтирование осуществляется на середину периода, а общая формула преобразуется следующим образом:

$PV={\frac {FV}{(1+i)^{t-0,5}}}.$$PV={\frac {FV}{(1+i)^{t-0,5}}}.$

Задача 2. Определить текущую стоимость 1 000 000 руб., которые будут получены в течение года после даты оценки. Поступления равномерны в течение всего года, ставка дисконтирования 15% годовых. Решение: $PV={\frac {1}{1000000}}{(1+0,15)^{0,5}}=932505.$$PV={\frac {1}{1000000}}{(1+0,15)^{0,5}}=932505.$

При изменении величины ставки дисконтирования в течение времени (переменная ставка дисконтирования) общая формула принимает следующий вид: $PV={\frac {FV}{(1+t_{1})^{t_{1}}\;\times (1+i_{2}\;)^{t_{2\;}}\times ...\times (1+i_{m}\;)^{t_{m}}}}$$PV={\frac {FV}{(1+t_{1})^{t_{1}}\;\times (1+i_{2}\;)^{t_{2\;}}\times ...\times (1+i_{m}\;)^{t_{m}}}}$

где: i_m – ставка дисконтирования в интервал времени с tm доли ед./период.

Задача 3. – определить текущую стоимость денежной суммы при следующих условиях: FV = 200 000 руб., t1 = t2 = 1 год, i1 = 15%/год, i2 = 20%/год.

Решение.

$PV={\frac {FV}{(1+i_{1})^{t_{1}}\times (1+i_{1})^{t_{2}}}}={\frac {200000}{(1+0,2)^{1}\times (1+0,15)^{1}}}=144928.$$PV={\frac {FV}{(1+i_{1})^{t_{1}}\times (1+i_{1})^{t_{2}}}}={\frac {200000}{(1+0,2)^{1}\times (1+0,15)^{1}}}=144928.$

Пояснение: процесс дисконтирования для наглядности разобьём на два этапа: приведение FV к моменту t1; приведение FV1 к моменту времени 0: $PV={\frac {FV}{(1+i_{2})^{t_{2}-t_{1}}}}={\frac {200000}{(1+0,2)^{1}}}=166667$$PV={\frac {FV}{(1+i_{2})^{t_{2}-t_{1}}}}={\frac {200000}{(1+0,2)^{1}}}=166667$ $PV={\frac {FV_{1}}{(1+i_{1})^{t_{1}}}}={\frac {166667}{(1+0,15)^{1}}}=144928$$PV={\frac {FV_{1}}{(1+i_{1})^{t_{1}}}}={\frac {166667}{(1+0,15)^{1}}}=144928$