7.2. Функции сложного процента и дисконтирование

Общая формула дисконтирования на конец периода:

$PV=\frac{FV}{(1+i{)}^t)}=FV\times \left[\frac{1}{(1+t{)}^t}\right]$

где:

$FV$ – будущая стоимость, ден. ед.;

$PV$ – текущая стоимость, ден. ед.;

$i$ – ставка дисконтирования, доли ед./период времени;

$t$ – интервал времени с даты оценки до даты возникновения FV, периодов времени.

Дробь в квадратных скобках – дисконтный множитель (коэффициент дисконтирования) – показывает соотношение текущей и будущей стоимостями денежного потока; коэффициент, умножение на который величины денежного потока будущего периода дает его текущую стоимость.

Задача 1. Какова текущая стоимость 1 000 000 руб., которые будут получены через 5 лет при средней величине годовой инфляции 10%? Решение:

$PV=\frac{1}{1000000}(1+0,1{)}^5=620921$

При условно равномерном распределении денежных потоков в течение срока (0; t) дисконтирование осуществляется на середину периода, а общая формула преобразуется следующим образом:

$PV=\frac{FV}{(1+i{)}^{t-0,5}}.$

Задача 2. Определить текущую стоимость 1 000 000 руб., которые будут получены в течение года после даты оценки. Поступления равномерны в течение всего года, ставка дисконтирования 15% годовых. Решение: $PV=\frac{1}{1000000}(1+0,15{)}^{0,5}=932505.$

При изменении величины ставки дисконтирования в течение времени (переменная ставка дисконтирования) общая формула принимает следующий вид: $PV=\frac{FV}{(1+t_1{)}^{t_1}\times (1+i_2{)}^{t_2}\times \mathrm{...}\times (1+i_m{)}^{t_m}}$

где: i_m – ставка дисконтирования в интервал времени с tm доли ед./период.

Задача 3. – определить текущую стоимость денежной суммы при следующих условиях: FV = 200 000 руб., t1 = t2 = 1 год, i1 = 15%/год, i2 = 20%/год.

Решение.

$PV=\frac{FV}{(1+i_1{)}^{t_1}\times (1+i_1{)}^{t_2}}=\frac{200000}{(1+0,2{)}^1\times (1+0,15{)}^1}=144928.$

Пояснение: процесс дисконтирования для наглядности разобьём на два этапа: приведение FV к моменту t1; приведение FV1 к моменту времени 0: $PV=\frac{FV}{(1+i_2{)}^{t_2-t_1}}=\frac{200000}{(1+0,2{)}^1}=166667$ $PV=\frac{F{V}_1}{(1+i_1{)}^{t_1}}=\frac{166667}{(1+0,15{)}^1}=144928$